Декабрь 16 2019

Как провести плоскость перпендикулярную плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости позволяет построить взаимно перпендикулярные прямую и плоскость, т. е. доказать существование таких прямых и плоскостей. Начнем с построения плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку. Решим две задачи на построение, соответствующие двум возможностям в расположении данной точки и данной прямой.

Задача 1. Через данную точку А на данной прямой a провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Проведем через прямую а любые две плоскости и в каждой их этих плоскостей через точку А проведем по прямой, перпендикулярной прямой а, обозначим их b и с (рис. 2.17). Плоскость а, проходящая через прямые бис, содержит точку А и перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому плоскость а искомая. Задача решена.

Задача имеет лишь одно (т.е. единственное) решение. Действительно, допустим противное. Тогда, кроме плоскости а через точку А проходит еще какая-нибудь плоскость Р, перпендикулярная прямой а (рис. 2.18). Возьмем в плоскости Р любую прямую , проходящую через точку А и не лежащую в плоскости а. Проведем плоскость у через пересекающиеся прямые а и . Плоскость у пересечет плоскость а по прямой q. Прямая q не совпадает с прямой , так как q лежит в а не лежит в а. Обе эти прямые лежат в плоскости у , проходят через точку А и перпендикулярны прямой а так как и аналогично так как и . Но это противоречит известной теореме планиметрии, согласно которой в плоскости через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Итак, предположив, что через точку А проходят две плоскости, перпендикулярные прямой а, мы пришли к противоречию. Поэтому задача имеет единственное решение.

Задача 2. Через данную точку А, не лежащую на данной прямой а, провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Через точку А проводим прямую b, перпендикулярную прямой а. Пусть В — точка пересечения а и b. Через точку В проводим еще прямую с, перпендикулярную прямой а (рис. 2.19). Плоскость, проходящая через обе проведенные прямые, будет перпендикулярна а по признаку перпендикулярности (теорема 2).

Как и в задаче 1, построенная плоскость единственная. Действительно, возьмем любую плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а. Такая плоскость содержит прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Но такая прямая только одна. Это прямая b, которая проходит через точку В. Значит, плоскость, проходящая через А и перпендикулярная прямой а, должна содержать точку В, а через точку В проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (задача 1). Итак, решив эти задачи на построение и доказав единственность их решений, мы доказали следующую важную теорему.

Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной прямой). Через каждую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Следствие (о плоскости перпендикуляров). Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной ее точке, лежат в одной плоскости и покрывают ее.

Читайте также:  Как вставить фото в фон презентации

Пусть а — данная прямая и А — какая-либо ее точка. Через нее проходит плоскость . По определению перпендикулярности прямой и плоскости она покрыта

крыта прямыми, перпендикулярными прямой а в точке А, т.е. через каждую точку плоскости а в ней проходит прямая, перпендикулярная прямой а.

Допустим, что через точку А проходит прямая , не лежащая в плоскости а. Проведем через нее и прямую а плоскость Р. Плоскость Р пересечет а по некоторой прямой с (рис. 2.20). И так как то Получается, что через точку А в плоскости Р проходят две прямые b и с, перпендикулярные прямой а . Это невозможно. Значит, прямых, перпендикулярных прямой а в точке А и не лежащих в плоскости а, нет. Все они лежат в этой плоскости.

Пример к следствию теоремы 3 дают спицы в колесе, перпендикулярные его оси: при вращении они зачерчивают плоскость (точнее, круг), принимая все положения, перпендикулярные оси вращения.

Теоремы 2 и 3 помогают дать простое решение следующей задачи.

Задача 3. Через точку данной плоскости провести прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Пусть даны плоскость а и точка А в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку А какую-либо прямую а. Через точку А проведем плоскость , перпендикулярную прямой а (задача 1). Плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой b (рис. 2.21). Проведем в плоскости Р через точку А прямую с, перпендикулярную прямой b. Так как (поскольку с лежит в плоскости

и ), то по теореме 2 . Единственность ее решения установлена в п. 2.1.

Замечание. О построениях в пространстве. Напомним, что в главе 1 мы изучаем "строительную геометрию". А в этом пункте мы решили три задачи на построение в пространстве. Что же понимают в стереометрии под терминами "построить”, "провести", "вписать" и т.п.? Сначала вспомним о построениях на плоскости. Указав, например, как строить окружность, описанную около треугольника, мы тем самым доказываем ее существование. Вообще, решая задачу на построение, мы доказываем теорему существования фигуры с заданными свойствами. Это решение сводится к составлению некоторого алгоритма построения искомой фигуры, т.е. к указанию последовательности выполнения простейших операций, приводящих к необходимому результату. Простейшие операции — это проведение отрезков, окружностей и нахождение точек их пересечения. Затем с помощью чертежных инструментов выполняется непосредственное построение фигуры на бумаге или на доске.

Итак, в планиметрии решение задачи на построение имеет как бы две стороны: теоретическую — алгоритм построения — и практическую — реализацию этого алгоритма, например, циркулем и линейкой.

У стереометрической задачи на построение остается лишь одна сторона — теоретическая, так как нет инструментов для построения в пространстве, аналогичных циркулю и линейке.

За основные построения в пространстве принимают те, которые обеспечиваются аксиомами и теоремами о существовании прямых и плоскостей. Это — проведение прямой через две точки, проведение плоскости (предложения п. 1.1 и аксиома 1 п. 1.4), а также построение прямой пересечения любых двух построенных плоскостей (аксиома 2 п. 1.4). Кроме того, мы, естественно, будем считать, что можно выполнять планиметрические построения в уже построенных плоскостях.

Читайте также:  Как отменить режим инкогнито в яндекс

Решить задачу на построение в пространстве — это значит указать последовательность основных построений, в результате которых получается нужная фигура. Обычно явно указываются не все основные построения, а делаются ссылки на уже решенные задачи на построение, т.е. на уже доказанные предложения и теоремы о возможности таких построений.

Кроме построений — теорем существования в стереометрии, возможны еще два вида задач, связанных с построениями.

Во-первых, задачи на рисунке или на чертеже. Таковы задачи на сечения многогранников или других тел. Мы не строим на самом деле само сечение, а только изображаем его на

рисунке или чертеже, который у нас уже есть. Такие построения осуществляются как планиметрические с учетом аксиом и теорем стереометрии и правил изображений. Задачи такого типа постоянно решают в черчении и в конструкторской практике.

Во-вторых, задачи на построение на поверхностях тел. Задача: "Построить точки на поверхности куба, удаленные от данной его вершины на данное расстояние" — решается с помощью циркуля (как?). Задача: "Построить точки на поверхности шара, удаленные от данной точки на данное расстояние" — также решается с помощью циркуля (как?). Задачи такого типа решают не на уроках геометрии — их постоянно решает разметчик, разумеется, с точностью, которой позволяют добиться его инструменты. Но, решая такие задачи, он опирается на геометрию.

Плоскость, перпендикулярную заданной прямой линии, обычно задают горизонтальной и фронтальной прямыми, перпендикулярными ей. На рис. 4.50 двумя пересекающимися в точке Спрямыми к и /задана плоскость, перпендикулярная прямой линии ЛВ.

При построении геометрического места точек пространства, равноудаленного от концов отрезка АВ (рис. 4.51), искомой будет плоскость, проведенная через середину отрезка ЛВ перпендикулярно ему и заданная горизонтальной /г _1_ ЛВ и фронтальной /_1_ ЛВ прямыми линиями.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую линию, перпендикулярную другой плоскости.

Для построения плоскости, перпендикулярной заданной плоскости а || Ь) и проходящей через прямую общего положения с (рис. 4.52), строят перпендикуляр ^ к плоскости а. Его проводят через произвольную точку на прямой с, например точку Л. Фронтальную проекцию прямой (1 строят перпендикулярно фронтальной проекции фронтальной прямой/а, а горизонтальную — перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтальной прямой Иа. Плоскость

р(с n d) будет перпендикулярна плоскости а || b), так как содержит прямую, к ней перпендикулярную.

Если необходимо построить плоскость, проходящую через точку М (рис. 4.53) и перпендикулярную двум заданным плоскостям а <АВС)и (3 n b), то проводят две прямые: т перпендикулярно плоскости а и п — плоскости (3. Построение прямой, перпендикулярной плоскости, было подробно рассмотрено в п. 4.10.

Построение плоскости перпендикулярной к прямой (2) — Дано. Прямая АВ и точка С. Требуется. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. Решение. Поскольку и горизонтальная и вертикальная проекции прямой АВ перпендикулярны оси проекций ОХ, любая плоскость со следами… … Википедия

Читайте также:  Как почистить страницу в одноклассниках

Перпендикуляр — Перпендикулярность бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и. т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности. Содержание 1 Перпендикулярность прямых на плоскости … Википедия

Свет* — Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Свет — Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ГОСТ 22268-76: Геодезия. Термины и определения — Терминология ГОСТ 22268 76: Геодезия. Термины и определения оригинал документа: 114. Абрис Ндп. Кроки D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематический чертеж участка местности Определения термина из разных документов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.… … Большая советская энциклопедия

МИКРОСКОП — (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия

Двойное лучепреломление — Прозрачный кристалл минерала, называемого исландским шпатом (известковый шпат, кальцит), будучи положен на рисунок или чертеж, показывает их линии раздвоенными. Покрывая одну грань такого кристалла непрозрачной пластинкой, в которой сделан… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона




Опубликовано 16.12.2019 Xeon LGA755 в категории "Компьютеры